1. Lý thuyết nhị thức niu tơn

1.1. Định lý khai triển nhị thức niu tơn

Trong chương trình toán giải tích lớp 11 đã học, khai triển nhị thức niu tơn(ngắn gọn là định lý nhị thức) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Định lý khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có n+1 số hạng:

left ( a+b right )^{n}=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}

left ( C_{k}^{n} right ) là số tổ hợp chập k của n phần tử (0leqslant kleqslant n). Ta có định lý, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho như sau:

1.2. Công thức nhị thức niu tơn

1.2.1. Định lý

Với với cặp số (a,b) ta có:

1.2.2. Hệ quả

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức ôn thi tốt nghiệp THPT sớm ngay từ bây giờ!!!

2. Các dạng toán nhị thức niu tơn

2.1. Cách tìm hệ số trong khai triển và tìm số hạng trong khai triển

Với dạng toán này, các em hãy sử dụng số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) của khai triển. Tiếp theo biến đổi để tách riêng phần biến và phần hệ số, sau đó kết hợp đề bài để xác định chỉ số k. Lưu ý số hạng gồm hệ số + phần biến.

2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cách tìm hệ số trong khai triển

VD1: Hệ số của trong khai triển là bao nhiêu?

Lời giải:

Hệ số của x31 là với k thỏa mãn điều kiện 3k – 80 = 31 ⇔ k=37

Vậy hệ số của là

VD2: Hệ số của x3 trong khai triển nhị thức niu tơn là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn ta có:

Ta có: 24 – 3k = 3 k = 7

Vậy hệ số x3 trong khai triển là a3 =

2.1.2. Ví dụ về cách tìm số hạng trong khai triển

VD1: Tìm số hạng không có x trong khai triển của nhị thức sau:

Lời giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển là

Số hạng không có x ứng với k thỏa mãn 12 – 2k = 0 ⇔ k=6

=> số hạng không chứa x là

VD2: Số hạng không chứa x trong khai triển: biết

Lời giải:

Theo khai triển nhị thức Newton thì

Ta xét phương trình:

Vậy ta có thể kết luận số hạng không chứa x trong khai triển là:

VD3: Tìm số hạng chứa trong khai triển của nhị thức niu tơn của

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn ta có:

Ta xét phương trình

Vậy số hạng chứa trong khai triển của nhị thức Newton của là:

2.2. Rút gọn đẳng thức, chứng minh biểu thức

Phương pháp:

  • Nhận xét bài toán từ đó chọn hàm số phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thường ta hay sử dụng các hàm cơ bản .

  • Khai triển nhị thức vừa tìm được và sử dụng các phép biến đổi đại số, giải tích để có được dạng phù hợp với đề bài.

  • Chọn giá trị của x cho phù hợp để có được biểu thức như để bài Thông thưởng ta chọn x là các số 1 hay -1 (cũng có thể …).

Vậy ta có được tổng hay mệnh đề cần được chứng minh.

2.2.1. Ví dụ về rút gọn đẳng thức

VD1: Tính tổng:

Lời giải:

Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11 với a = 1, b= -2 ta được:

VD2: Rút gọn biểu thức sau:

Lời giải:

a) Ta có:

Ta lấy đạo hàm bậc hai theo x cả hai vế của phương trình (1) ta được:

Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được:

2.2.2. Ví dụ chứng minh biểu thức

VD1: Chứng minh rằng:

Lời giải:

Cho n = 2001 và x = 3 ta được:

(1)

Cho n = 2001 và x = -3 ta được:

(2)

(1) + (2) vế theo vế ta được:

Điều phải chứng minh

VD2: Chứng minh rằng:

Lời giải:

Ta có:

Ta lấy phương trình (1) + (2) ta được:

Lấy (1) – (2) ta được

Vậy

2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh hợp tổ hợp

Đối với dạng bài này, các em sử dụng các công thức tính số hoán vị, tổ hợp chỉnh hợp để biến đổi phương trình sau đó kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

VD1: Tìm n biết

Lời giải:

Điều kiện

Giả thiết tương đương với:

hoặc (loại)

VD2: Cho khai triển . Tìm số nguyên dương n biết .

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn ta có:

Từ đó, ta có hệ số của xk là

Theo giả thiết đã cho của đề bài ta có:

VD3: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:

Lời giải:

Đặt:

Từ đó ta suy ra được:

Nhận ngay bí kíp trọn bộ phương pháp giải mọi dạng bài trong đề thi Toán THPT Quốc Gia ngay

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập của hệ thức nhị thức niu tơn trong chương trình Toán 11. Để đạt được kết quả cao các em nên làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Hy vọng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức lớp 12 phục vụ ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp

Quy tắc đếm

Phép thử và biến cố